Центральные конфигурации в задаче многих тел: точки либрации, устойчивость, приложения 

Перов Н.И.

ГОУ ВПО «ЯГПУ им. К.Д.Ушинского», Россия

АБСТРАКТ

      Рассматривается динамическая система N·n тел, с равными массами m, между которыми действуют силы ньютоновского тяготения. Причём, на всём рассматриваемом интервале времени,  n тел находятся в вершинах  правильного n–угольника (3<n<1000) , а  число таких n-угольников равно N (1<N<25). В центре системы расположено тело массой M. Система равномерно вращается с (неизвестной) угловой скоростью ω.  Определяются -  а) стороны  ak (k=1,…, N) каждого  n – угольника; б) положения точек либрации – тел с нулевой массой; в) минимальное значение массы M центрального тела, при котором  точки либрации L являются устойчивыми по Ляпунову. Обсуждаются практические приложения рассмотренной  небесномеханической модели.  
          Приведём основные результаты работы. 
     1) При больших значениях n и  N для оценки минимального значения массы M центрального тела, при которой наиболее удалённая от него точка либрации  L является устойчивой, предлагается использовать, выведенные в работе, рекуррентные формулы.  2) С ростом n и  N, при устойчивости точки L, отношения сторон N правильных n–угольников стремятся к 1. 3) С увеличением N (и n) наиболее удалённая от  центра масс системы точка либрации L переходит из области  пространства, расположенной вне N-го n-угольника во внутреннюю область N-го n-угольника. 4) Квазипериодическое движение точки L вблизи положения равновесия при фиксированном значении N и больших значениях n происходит с некоторой предельной частотой Ωlim. 5) Подчёркивается, что установление устойчивости (неустойчивости) динамической системы гравитационно-связанных тел,  на основании  исследования устойчивости только 1-й (!) точки либрации имеет значение для решения таких проблем, как происхождение Солнечной и внесолнечных планетных систем и локализация вблизи ближайших звёзд планет земного типа.  Отметим, что поиски подобных планет из прямых наблюдений заложены в программах космических аппаратов “DARWIN”, “KEPLER”, “GAIA”.    
     Для проверки результатов, полученных аналитически, использованы  методы численного интегрирования  дифференциальных уравнений движения тел. 
    Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно - педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы. (Государственный контракт №П539).